H idiìthta prosèggishc kai to prìblhma thc bˆshc se q rouc Banach. Andreac Mhtropouloc

Transcript

1 H idiìthta prosèggishc kai to prìblhma thc bˆshc se q rouc Banach Andreac Mhtropouloc Tm ma Majhmatik n Panepist mio Ajhn n Aj na 2012

2

3 Perieqìmena 1 Περιγραφή της εργασίας Το πρόβλημα Οι κατασκευές Βάσεις Schauder και η ιδιότητα προσέγγισης Βάσεις Schauder αʹ Βασικές ακολουθίες βʹ Παραδείγματα βάσεων Schauder Φραγμένα πλήρεις και συρρικνούσες βάσεις Η ιδιότητα προσέγγισης Η κατασκευή του Enflo Τελεστές πεπερασμένης έκτασης Συναρτήσεις Walsh Κατασκευή του χώρου Η κατασκευή του Davie Ανισότητες τύπου Bernstein αʹ Στοιχεία από την Θεωρία Πιθανοτήτων βʹ Αθροίσματα ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών Η κατασκευή Η κατασκευή του Szankowski Συμπαγής ιδιότητα προσέγγισης Η κατασκευή Ιδιότητα προσέγγισης και Banach Lattices Ιδιότητα προσέγγισης και φραγμένη ιδιότητα προσέγγισης Εισαγωγή Το βασικό επιχείρημα των Figiel και Johnson Η ιδιότητα προσέγγισης στον δυϊκό χώρο

4 iv Περιεχομενα 6.4 Το παράδειγμα του Lindenstrauss Η κατασκευή του Szarek Εισαγωγή p-αθροίζοντες τελεστές Προκαταρκτικά αποτελέσματα Το τοπικό αποτέλεσμα αʹ Απόσταση Banach-Mazur Κατασκευή του χώρου

5 Kefˆlaio 1 Perigraf thc ergasðac 1.1 To prìblhma Ορισμός Εστω X χώρος Banach πάνω από το K (το K είναι το R ή το C) και έστω (x n ) ακολουθία στον X. Η (x n ) λέγεται βάση Schauder του X αν για κάθε x X υπάρχουν μοναδικοί a n = a n (x) K ώστε (1.1.1) x = a n x n. n=1 Ορισμός Ενας χώρος Banach X έχει την ιδιότητα προσέγγισης (AP) αν για κάθε συμπαγές υποσύνολο K του X και για κάθε ε > 0 υπάρχει τελεστής πεπερασμένης τάξης T : X X (δηλαδή, T (x) = n x i (x)x i για κάποια n N, {x i } n X και {x i }n X ) ώστε T (x) x ε για κάθε x K. Το πρόβλημα της βάσης, το ερώτημα αν κάθε διαχωρίσιμος χώρος Banach έχει βάση Schauder, το οποίο διατυπώθηκε από τον Mazur στο Scottish Book το 1936 (υπ αριθμόν 153, με ημερομηνία 6 Νοεμβρίου 1936), έμεινε ένα από τα κεντρικά ανοικτά προβλήματα της συναρτησιακής ανάλυσης μέχρι το 1972, οπότε ο Σουηδός μαθηματικός Per Enflo έδωσε αρνητική απάντηση. Παράλληλα, ο Mazur είχε διατυπώσει το πρόβλημα της προσέγγισης σε χώρους Banach. Το πρόβλημα αυτό ρωτάει αν κάθε διαχωρίσιμος χώρος Banach έχει την ιδιότητα προσέγγισης, δηλαδή αν σε κάθε διαχωρίσιμο χώρο Banach ο ταυτοτικός τελεστής μπορεί να προσεγγιστεί ομοιόμορφα σε συμπαγή υποσύνολα από τελεστές πεπερασμένης τάξης. Εύκολα μπορεί να ελέγξει κανείς ότι οι χώροι Hilbert έχουν αυτή την ιδιότητα. Ο Enflo [3] κατασκεύασε έναν διαχωρίσιμο χώρο Banach, ο οποίος δεν έχει την παραπάνω ιδιότητα. Εύκολα βλέπουμε ότι αν ο X έχει βάση Schauder, τότε έχει την ιδιότητα προσέγγισης. Ετσι, ο χώρος που κατασκεύασε ο Enflo δεν έχει βάση Schauder.

6 2 Περιγραφη της εργασιας Ορισμός Εστω X χώρος Banach και έστω 1 λ <. Λέμε ότι ο X έχει την λ-ιδιότητα προσέγγισης (λ AP) αν, για κάθε ε > 0 και για κάθε συμπαγές υποσύνολο K του X, υπάρχει τελεστής πεπερασμένης τάξης T : X X με νόρμα T λ ώστε T (x) x ε για κάθε x K. Λέμε ότι ο X έχει την φραγμένη ιδιότητα προσέγγισης (BAP) αν έχει την λ-ιδιότητα προσέγγισης για κάποιον λ 1. Είναι φανερό ότι σε έναν χώρο Banach ισχύουν οι συνεπαγωγές (1.1.2) Ο X έχει βάση = Ο X έχει την BAP = Ο X έχει την AP. Εκτός από το παράδειγμα του Enflo θα παρουσιάσουμε και κάποια άλλα μεταγένεστερα αντιπαραδείγματα για το πρόβλημα της βάσης, όπως του Davie [2] και του Szankowski [16], καθώς και τα αντιπαραδείγματα των Figiel Johnson [4] και του Szarek [21], που δείχνουν ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές της (1.1.2) δεν ισχύουν. Στο Κεφάλαιο 2 εισάγουμε την έννοια της βάσης Schauder και δείχνουμε το εξής βασικό αποτέλεσμα: Θεώρημα Κάθε απειροδιάστατος χώρος Banach X περιέχει κλειστό υπόχωρο με βάση Schauder. Στην συνέχεια παρουσιάζουμε κάποιες ειδικές κατηγορίες βάσεων Schauder, τις φραγμένα πλήρεις και συρρικνούσες βάσεις και τέλος εισάγουμε την έννοια της ιδιότητας προσέγγισης. Οι ακόλουθες ισοδυναμίες αποτελούν χαρακτηρισμό για το πότε ένας χώρος έχει την ιδιότητα προσέγγισης: Θεώρημα Εστω X χώρος Banach. Τα παρακάτω είναι ισοδύναμα. (i) Ο X έχει την ιδιότητα προσέγγισης. (ii) Για κάθε ζεύγος ακολουθιών {x n } X, {x n} X με x i yi < που ικανοποιούν την n=1 x n(x)x n = 0 για κάθε x X, ισχύει x n(x n ) = 0. n=1 Θεώρημα Οι ακόλουθες τρεις προτάσεις είναι ισοδύναμες. (i) Κάθε χώρος Banach X έχει την ιδιότητα προσέγγισης.

7 1.2 Οι κατασκευες 3 (ii) Αν A = (a i,j ) i, είναι ένας πίνακας που ικανοποιεί τις lim j max a i,j < και A 2 = 0, τότε j a i,j = 0 για κάθε i 1, (1.1.3) tr(a) = a n,n = 0. (iii) Κάθε συνεχής συνάρτηση K : [0, 1] [0, 1] R που ικανοποιεί την n=1 (1.1.4) 1 0 K(s, t)k(t, u)dt = 0 για κάθε s και u [0, 1], ικανοποιεί την (1.1.5) 1 0 K(t, t)dt = 0. Αυτές οι ισοδυναμίες παίζουν βασικό ρόλο στην απόδειξη του ότι οι κατασκευές που θα παρουσιάσουμε οδηγούν σε χώρους που δεν έχουν την ιδιότητα προσέγγισης. 1.2 Oi kataskeuèc Το παράδειγμα του Enflo Στο Κεφάλαιο 3 παρουσιάζουμε την κατασκευή του Enflo [3]. Σε αυτήν την κατασκευή εμφανίζονται οι λεγόμενοι τελεστές πεπερασμένης έκτασης. Ορισμός (τελεστές πεπερασμένης έκτασης). Εστω X χώρος Banach που παράγεται από μια ακολουθία {e k } γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων. Λέμε ότι ένας γραμμικός τελεστής T : X X είναι τελεστής πεπερασμένης έκτασης αν, για κάθε k N, (1.2.1) T (e k ) = i a k,i e i, όπου το πλήθος των μη μηδενικών a ki είναι πεπερασμένο. Για κάθε μη κενό πεπερασμένο υποσύνολο M του {e j } θέτουμε (1.2.2) Tr(M, T ) = e i M όπου M είναι ο πληθάριθμος του M. a ii και Tr(M, T ) = 1 M e i M a ii,

8 4 Περιγραφη της εργασιας Ορισμός Αν η ακολουθία μη μηδενικών διανυσμάτων {e j } παράγει έναν χώρο Banach, θα λέμε ότι η {e j } έχει την ιδιότητα A αν για κάθε πεπερασμένο γραμμικό συνδυασμό r a je j ισχύει (1.2.3) r a j e j max 1 k r a ke k. Αν M είναι ένα σύνολο διανυσμάτων σε έναν χώρο Banach X, συμβολίζουμε με M τον κλειστό υπόχωρο του X ο οποίος παράγεται από το M. Η κατασκευή του Enflo βασίζεται στο ακόλουθο λήμμα. Λήμμα Εστω X χώρος Banach ο οποίος παράγεται από μια ακολουθία {e j } η οποία έχει την ιδιότητα A. Υποθέτουμε ότι υπάρχει ακολουθία (M m ) ξένων ανά δύο πεπερασμένων υποσυνόλων του {e j } και υπάρχουν σταθερές a > 1 και K > 0 ώστε (i) dim(m m+1 ) > (dim(m m )) a, και (ii) Tr(M m+1, T ) Tr(M m, T ) K T (log dim(m m )) 1 για κάθε m 1 και για κάθε τελεστή πεπερασμένης έκτασης T : X X. Τότε, υπάρχει σταθερά C > 0 ώστε (1.2.4) I T Mm 1 C T (log dim(m m )) 1 για κάθε τελεστή T : X X πεπερασμένης τάξης. Θα κατασκευάσουμε υπόχωρους (M m ) πεπερασμένης διάστασης οι οποίοι ικανοποιούν τις συνθήκες του Λήμματος. Θεωρούμε την ομάδα H 2n = Z 2n 2 = {0, 1} 2n των ακολουθιών a = (a 1, a 2,..., a 2n ) μήκους 2n από 0 ή 1. Συμβολίζουμε με W m το σύνολο των συναρτήσεων Walsh που είναι γινόμενα m διαφορετικών R j, 1 j 2n, όπου R j είναι οι συναρτήσεις Rademacher, που ορίζονται ως εξής: (1.2.5) R j (a) = ( 1) aj, για κάθε j = 1,... 2n. Γράφουμε w m για τα στοιχεία του W m και ορίζουμε, (1.2.6) F m = w m W m w m. Για κάθε a H 2n, με a = a j συμβολίζουμε το πλήθος των μη μηδενικών συντεταγμένων του a. Οι βασικές ιδιότητες των F m δίνονται από το εξής Λήμμα. Λήμμα Για κάθε n N και για κάθε 1 m 2n ισχύουν τα εξής: (i) F m (0) = F m = ( 2n m).

9 1.2 Οι κατασκευες 5 (ii) F m (a) = (1 mn 1 ) F m αν a = 1. (iii) F n 1 (a) = F n+1 (a) n 1 F n 1 = n 1 F n+1 αν 0 < a < 2n. (iv) F m (a) = ( 1) m F m (b) αν a + b = 2n. Θεωρούμε τώρα τον χώρο Banach όλων των πραγματικών συναρτήσεων με πεδίο ορισμού το H 2n, εφοδιασμένον με την -νόρμα, και βλέπουμε ότι: (i) Αν p είναι μια μετάθεση των 2n αντιγράφων του Z 2 στον H 2n, τότε η p ορίζει μια ισομετρία του span(w m ) επί του εαυτού του, μέσω της (1.2.7) (U p (w m ))(a) = w m (p(a)). (ii) Αν t : a a + b είναι μια μεταφορά στον H 2n, τότε η t ορίζει μια ισομετρία του span(w m ) επί του εαυτού του, μέσω της (1.2.8) (U t (w m ))(a) = w m (t(a)). Θεωρώντας την ομάδα G των ισομετριών του span(w n 1 W n+1 ) που παράγεται από τις U p και τις U t δείχνουμε το εξής: Λήμμα Εστω T ένας γραμμικός μετασχηματισμός του span(w n 1 W n+1 ). Υπάρχει U G τέτοιος ώστε, αν (1.2.9) f = F n 1 F n 1 F n+1 F n+1, τότε (1.2.10) Tr(W n 1, T ) Tr(W n+1, T ) 2 n T Uf Uf. Για την κατασκευή του χώρου θεωρούμε δύο αύξουσες ακολουθίες {k m } και {n m } φυσικών αριθμών, τις οποίες επιλέγουμε κατάλληλα ώστε να ικανοποιούν κάποιες συνθήκες που περιγράφουμε παρακάτω. Ορίζουμε K mj := Z 2nm 2, 1 j k m, και θεωρούμε την ξένη ένωση (1.2.11) K m := K m1 K m2 K mkm. Θεωρούμε τον χώρο C(K m ) των συνεχών συναρτήσεων f : K m R, εφοδιασμένον με την, και ορίζουμε τον χώρο ( ) (1.2.12) B 1 = C(K m ). m=1 2

10 6 Περιγραφη της εργασιας Ο χώρος B που κατασκευάζει ο Enflo είναι κλειστός υπόχωρος του B 1. Για κάθε m ορίζουμε έναν υπόχωρο span(m m ) του C(K m ) C(K m+1 ) διάστασης k m t m, όπου ( ) (1.2.13) t m = dim(wn nm 1 m ) = dim(wn nm+1 2nm m ) =. n m 1 Απαιτούμε από το M m να ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες: (Α) Η συνιστώσα του e M m στον C(K mj ) είναι ίση με 0 για όλα τα j εκτός από ένα, για το οποίο είναι στοιχείο του W nm+1 n m. (Β) Η συνιστώσα του e M m στον C(K m+1,j ) είναι 0 ή στοιχείο του Wn nm+1 1 m+1 κάθε j, κάθε στοιχείο του Wn nm+1 1 m+1 εμφανίζεται σαν συνιστώσα κάποιου e. και, για (Γ) Διαφορετικά στοιχεία του M m δεν μπορούν να έχουν την ίδια μη μηδενική συνιστώσα στον C(K mj ) ή στον C(K m+1,j ). (Δ) card(n mi N mj ) 2t m+1 /n m+1 για κάθε i j. (Ε) card(n mj M mi ) min{t m+1 /n m+1, t m /n m }. (Ζ) Αν σ(e) είναι το πλήθος των j για τα οποία e N mj, τότε (1.2.14) 1 σ(e) k m t m k m+1 t m+1 1, n m+1 e M m όπου με M mj συμβολίζουμε το σύνολο των t m στοιχείων του M m που έχουν μη μηδενική συνιστώσα στον C(K mj ) και με N mj το σύνολο των t m+1 στοιχείων του M m που έχουν μη μηδενική συνιστώσα στον C(K m+1,j ). Ο B ορίζεται να είναι ο υπόχωρος του B 1 που παράγεται από το M = M m. Αποδεικνύοντας ότι ο M έχει την ιδιότητα A και χρησιμοποιώντας τις συνθήκες (A) (Z) δείχνουμε ότι για κάθε τελεστή πεπερασμένης έκτασης T : B B ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις: (1.2.15) και k Tr(M m+1 m, T ) k m+1 Tr(N mj, T ) k m+1 T n m+1 (1.2.16) Tr(N mj, T ) Tr(M m+1,j, T ) 4 T n m+1. Τέλος επιλέγοντας σταθερές a > 1 και γ > 1 έτσι ώστε (1.2.17) 1 < a < γ και a < (2 + γ)/(1 + γ),

11 1.2 Οι κατασκευες 7 ορίζουμε (1.2.18) n m = [a m ] και k m = [t γ m]. Δείχνοντας ότι μπορούμε να επιλέξουμε τα M m έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι συνθήκες (A) (Z) και λόγω των (1.2.15) και (1.2.16) βλέπουμε ότι οι συνθήκες (i) και (ii) του λήμματος ικανοποιούνται, επομένως ο χώρος που κατασκευάσαμε δεν έχει την ιδιότητα προσέγγισης Το παράδειγμα του Davie Στο Κεφάλαιο 4 παρουσιάζουμε την κατασκευή του Davie [2]. Ο Davie απέδειξε το εξής: Θεώρημα Εστω 2 < p <. Υπάρχει κλειστός υπόχωρος του l p, ο οποίος δεν έχει την ιδιότητα προσέγγισης. Για την απόδειξη θεωρούμε μια αβελιανή ομάδα G k τάξεως 3 2 k και χρησιμοποιώντας ένα πιθανοθεωρητικό λήμμα, αποδεικνύουμε ότι υπάρχει διαμέριση του συνόλου των χαρακτήρων της G k σε δύο σύνολα. Συγκεκριμένα αποδεικνύουμε το εξής: Λήμμα Εστω G k αβελιανή ομάδα τάξεως 3 2 k, για κάποιον k 0. Τότε, υπάρχει διαμέριση του συνόλου των χαρακτήρων H k = {γ j } 3 2k της G k σε δύο σύνολα H + k = {σ j} 2k και H k = {τ j} 2k+1, με H+ k = 2k και H k = 2k+1, ώστε για κάθε g G k να ισχύει (1.2.19) 2 2 k όπου κ > 0 απόλυτη σταθερά. 2 k+1 σ j (g) τ j (g) κ2k/2 k + 1, Σημείωση. Χαρακτήρας της G είναι κάθε ομομορφισμός από την G στην πολλαπλασιαστική ομάδα {z C : z = 1}. Χρησιμοποιώντας το λήμμα αυτό κατασκευ- άζουμε εναν άπειρο πίνακα A = (a i,j ) i, μιγαδικών αριθμών με τις εξής ιδιότητες: (i) A 2 = 0. (ii) tr(a) = a i,i 0. (iii) (max j a i,j ) r < για κάθε r > 2/3. Επιπλέον, κάθε γραμμή και κάθε στήλη του A περιέχει πεπερασμένο αριθμό μη μηδενικών σ- τοιχείων. Θεωρώντας αυτόν τον πίνακα και χρησιμοποιώντας το Θεώρημα κατασκευάζουμε έναν κλειστό υπόχωρο του l p, για 2 < p <, ο οποίος δεν έχει την ιδιότητα προσέγγισης.

12 8 Περιγραφη της εργασιας Το παράδειγμα του Szankowski Στο Κεφάλαιο 5 παρουσιάζουμε την κατασκευή του Szankowski[16]. Ο Szankowski κατασκεύασε κλειστό υπόχωρο του l p, για 1 p < 2 οποίος δεν έχει την ιδιότητα προσέγγισης. Ειδικότερα ο Szankowski κατασκεύασε κλειστό υπόχωρο του l p, για 1 p < 2, ο οποίος δεν έχει την συμπαγή ιδιότητα προσέγγισης. Ορισμός Ενας χώρος Banach έχει την συμπαγή ιδιότητα προσέγγισης (CAP) αν για κάθε συμπαγές υποσύνολο K του X και για κάθε ε > 0 υπάρχει συμπαγής τελεστής T : X X που ικανοποιεί την T (x) x ε για κάθε x K. Προφανώς, κάθε χώρος που έχει την ιδιότητα προσέγγισης έχει και την συμπαγή ιδιότητα προσέγγισης. Η κατασκευή βασίζεται στο εξής κριτήριο για την (CAP ) : Θεώρημα Εστω X χώρος Banach. Υποθέτουμε ότι υπάρχουν ακολουθίες {x j } και {x j } διανυσμάτων στους X και X αντίστοιχα, μια ακολουθία {F n } n=1 πεπερασμένων υποσυνόλων του X και μια αύξουσα ακολουθία {k n } n=1 φυσικών αριθμών, ώστε να ικανοποιούνται τα εξής: (i) x j (x j) = 1 για κάθε j. (ii) Η {x j } είναι w -μηδενική και -φραγμένη. (iii) Για κάθε n 1 και για κάθε T : X X ισχύει (1.2.20) β n (T ) β n 1 (T ) sup{ T (x) : x F n }, όπου β 0 (T ) = 0 και, αν n 1, (1.2.21) β n (T ) = 1 k n k n (iv) n=1 γ n <, όπου γ n = sup{ x : x F n }. Τότε, ο X δεν έχει την (CAP ). Για την κατασκευή του χώρου ορίζουμε x j (T (x j )). (1.2.22) σ n = {2 n, 2 n + 1,..., 2 n+1 1}, για κάθε n 1 και θεωρούμε μια ακολουθία {f k (j)} 9 k=1 εννέα ακεραίων, η οποία μας επιτρέπει να ορίσουμε διαμερίσεις n, V n του σ n σε ξένα σύνολα. Ο χώρος μας είναι ο χώρος X όλων των ακολουθιών x = (a 4, a 5, a 6,...) που ικανοποιούν την (1.2.23) x = p/2 1/p a j 2 <. j B n=2 B n

13 1.2 Οι κατασκευες 9 Συμβολίζοντας με {e j } j=4 τα μοναδιαία διανύσματα του X και με {e j } j=4 τα αντίστοιχα διορθογώνια συναρτησοειδή στον X, θεωρούμε τον κλειστό υπόχωρο Z του X ο οποίος παράγεται από την ακολουθία (1.2.24) z i = e 2i e 2i+1 + e 4i + e 4i+1 + e 4i+2 + e 4i+3, i 2. Τότε θέτοντας, (1.2.25) z i = 1 2 (e 2i e 2i+1), i 2 και για κάθε T : Z Z, (1.2.26) β n (T ) = 1 2 n i σ n z i (T z i ), n 1, βλέπουμε ότι ικανοποιούνται οι συνθήκες του Θεωρήματος Ετσι, ο Z δεν έχει την (CAP ). Στην Παράγραφο 3 αυτού του Κεφαλαίου παρουσιάζουμε την κατασκευή ενός Banach lattice, πάλι από τον Szankowski [15], ο οποίος δεν έχει την (CAP ). Ορισμός Ενας μερικά διατεταγμένος πραγματικός χώρος Banach X λέγεται Banach lattice αν ισχύουν τα ακόλουθα: (i) αν x y, τότε x + z y + z, για κάθε x, y, z X. (ii) ax 0, για κάθε x X και για κάθε a 0. (iii) Για κάθε x, y X υπάρχουν το ελάχιστο άνω φράγμα x y και το μέγιστο κάτω φράγμα x y των x και y. (iv) x y, όταν x y, όπου η απόλυτη τιμή x ορίζεται ως x = x ( x). Με τον όρο sublattice ενός Banach lattice X, εννοούμε έναν γραμμικό υπόχωρο Y του X, ώστε το x y, (και άρα και το x y = x + y x y) να ανήκει στον Y, για κάθε x, y Y. Συγκεκριμένα ο Szankowski έδειξε το εξής: Θεώρημα Εστω 1 r < p <. Τότε, υπάρχει sublattice του ο οποίος δεν έχει την (CAP). l p (L r (0, 1)) = (L r (0, 1) L r (0, 1) ) p, Η κατασκευή του χώρου είναι παρόμοια με την προηγούμενη και βασίζεται πάλι στο Θεώρημα Με την βοήθεια ενός συνδυαστικού λήμματος εξασφαλίζουμε ότι υπάρχει διαμέριση n του [0, 1] σε M n ξένα B n -μετρήσιμα σύνολα, όπου με B n συμβολίζουμε την

14 10 Περιγραφη της εργασιας { σ-άλγεβρα των υποσυνόλων του [0, 1], που παράγονται από το σύνολο των διαστημάτων [ i 1 ] } i 2, n 2, i = 1,..., 2 n, για κάθε n N. Ο χώρος μας X είναι ο χώρος X όλων των n μετρήσιμων συναρτήσεων f στο [0, 1] που ικανοποιούν την (1.2.27) f = ( m=2 6 Mm ap B m ( όπου a είναι ένας αριθμός για τον οποίο ισχύει (1.2.28) 0 < ap < p r 1. ) p/r 1/p f(t) dt) r <, B Θεωρώντας τις συναρτήσεις Walsh w j στο [0, 1] και ορίζοντας για κάθε T : X X και n = 1, 2,..., (1.2.29) β n (T ) = 1 2 n 2 n w j (T w j ), βλέπουμε ότι ικανοποιούνται οι συνθήκες του Θεωρήματος Το παράδειγμα των Figiel Johnson Στο Κεφάλαιο 6 παρουσιάζουμε την κατασκευή ενός χώρου που έχει την ιδιότητα προσέγγισης, αλλά δεν έχει την φραγμένη ιδιότητα προσέγγισης, από τους Figiel Johnson [4]. Αποδεικνύουμε το εξής: Θεώρημα Υπάρχει διαχωρίσιμος χώρος Banach X, ο οποίος μάλιστα έχει διαχωρίσιμο δυϊκό, που έχει την ιδιότητα προσέγγισης, αλλά δεν έχει την φραγμένη ιδιότητα προσέγγισης. Η απόδειξη βασίζεται στο εξής θεώρημα: Θεώρημα Εστω (X, ) ένας χώρος Banach. Υποθέτουμε ότι υπάρχει λ > 0 ώστε, για κάθε νόρμα στον X η οποία είναι ισοδύναμη με την ο (X, ) να έχει την λ-ιδιότητα προσέγγισης. Τότε, ο X έχει την φραγμένη ιδιότητα προσέγγισης. Επίσης χρησιμοποιούμε το παράδειγμα του Lindenstrauss [10]: Θεώρημα Για κάθε διαχωρίσιμο χώρο Banach X, υπάρχει διαχωρίσιμος χώρος Banach Z ώστε ο Z να έχει φραγμένα πλήρη βάση και ο Z /Z να είναι ισόμορφος με τον X. Από αυτό το θεώρημα έπεται, με χρήση του γεγονότος ότι αν ένας δυϊκός χώρος X έχει την (AP ) τότε την έχει και ο X, ότι υπάρχει διαχωρίσιμος χώρος Banach Z με βάση

15 1.2 Οι κατασκευες 11 Schauder, του οποίου ο δυϊκός χώρος Z είναι διαχωρίσιμος, αλλά δεν έχει την ιδιότητα προσέγγισης. Τότε από το θεώρημα μπορούμε να ορίσουμε ισοδύναμη νόρμα n στον Z έτσι ώστε ο (Z, n ) να μην έχει την n-μετρική ιδιότητα προσέγγισης. Επεται ότι ο χώρος ( ) (1.2.30) X = (Z, n ) n=1 έχει την ιδιότητα προσέγγισης, δεν έχει την φραγμένη ιδιότητα προσέγγισης και έχει διαχωρίσιμο δυϊκό Το παράδειγμα του Szarek Στο τελευταίο κεφάλαιο παρουσιάζουμε την κατασκευή του Szarek [21], ενός χώρου που έχει την φραγμένη ιδιότητα προσέγγισης, αλλά δεν έχει βάση Schauder. Η κατασκευή βασίζεται σε ένα αποτέλεσμα του Szarek [20]: Θεώρημα Για κάθε δ (0, 1) και για κάθε n N υπάρχει μια νόρμα στον R n ώστε ο χώρος X = (R n, ) να έχει τις παρακάτω ιδιότητες: (i) Ο X είναι ισομετρικός με ένα πηλίκο του l N 1, όπου N 2n. (ii) Για κάθε x R n ισχύει (1.2.31) x 2 x x 1 n x 2. Ισοδύναμα, (1.2.32) 1 n B n 2 B n 1 B X B n 2. (iii) Ο λόγος όγκων της B X είναι φραγμένος: (1.2.33) ( B X n 1 B n 2 ) 1/n 8. (iv) Ο X ικανοποιεί το θεώρημα του Grothendieck με σταθερά C. (v) Αν T L(X) c(δ) n, τότε υπάρχει λ R n ώστε T λi C0 δn. Χρησιμοποιώντας αυτό το αποτέλεσμα αποδεικνύουμε το εξής:

16 12 Περιγραφη της εργασιας Πρόταση Για κάθε n N και q [2, ] υπάρχει n-διάστατος υπόχωρος Y = Y n q του L q με την εξής ιδιότητα: αν F είναι ένας χώρος με νόρμα του οποίου όλοι οι n-διάστατοι υπόχωροι είναι D-Ευκλείδειοι, τότε (1.2.34) bc(y 2 F ) cn 1 2( q ) D 1/2. Ειδικότερα, (1.2.35) bc(y 2 l 2 ) cn 1 2( q ). Λέμε ότι ένας χώρος Z με νόρμα είναι D-Ευκλείδειος αν έχει απόσταση Banach-Mazur d(z, l dim(z) 2 ) D από τον l dim(z) 2. Με Z 2 Z συμβολίζουμε το ευθύ άθροισμα, εφοδιασμένο με τη νόρμα (z, z ) = ( z 2 + z 2 ) 1/2, δύο χώρων Z και Z με νόρμα. Θεωρώντας τώρα τους χώρους Y n k q k της προηγούμενης πρότασης, όπου q k ακολουθίες πραγματικών αριθμών με q k 2 και n k ακολουθίες φυσικών αριθμών με n k, αποδεικνύουμε, χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα του John και του Lewis [9] για την απόσταση Banach Mazur και την πρόταση ότι ο χώρος (1.2.36) Z = ( Y n k q k )l 2 δεν έχει βάση.

17 Kefˆlaio 2 Bˆseic Schauder kai h idiìthta prosèggishc 2.1 Bˆseic Schauder Ορισμός Εστω X χώρος Banach πάνω από το K (το K είναι το R ή το C) και έστω (x n ) ακολουθία στον X. Η (x n ) λέγεται βάση Schauder του X αν για κάθε x X υπάρχουν μοναδικοί a n = a n (x) K ώστε (2.1.1) x = a n x n. n=1 Αν (x n ) είναι μια βάση Schauder του X, τότε μπορούμε να βλέπουμε τον X σαν «χώρο ακολουθιών» μέσω της ταύτισης x (a 1 (x), a 2 (x),...): η βάση μας παρέχει ένα «σύστημα συντεταγμένων» για τον X. Εύκολα ελέγχουμε ότι αν μια ακολουθία (x n ) είναι βάση Schauder του X τότε τα x n, n N είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Ειδικότερα, x n 0 για κάθε n N. Πρόταση Εστω X χώρος Banach με βάση Schauder. Τότε, ο X είναι διαχωρίσιμος. Απόδειξη. Υποθέτουμε ότι K = R (η απόδειξη είναι εντελώς ανάλογη στην περίπτωση που K = C). Εστω (x n ) μια βάση Schauder του X. Θέτουμε { } n (2.1.2) D = x X : x = a k x k : n N, a 1,..., a n Q. k=1 Είναι σαφές ότι το D είναι αριθμήσιμο υποσύνολο του X. Θα δείξουμε ότι το D είναι πυκνό υποσύνολο του X. Εστω x X και ε > 0. Αφού η (x n ) είναι βάση του X, υπάρχουν n N και πραγματικοί αριθμοί β 1,..., β n ώστε x y < ε/2 όπου y = n k=1 β kx k.

18 14 Βασεις Schauder και η ιδιοτητα προσεγγισης Θέτουμε M = max { x k : k = 1,..., n}. Επειδή το σύνολο Q των ρητών αριθμών είναι πυκνό υποσύνολο του R, για κάθε k N υπάρχει a k Q ώστε a k β k < ε/(2nm). Θεωρούμε το z = n k=1 a kx k D. Τότε, έχουμε (2.1.3) x z < x y + y z < ε n 2 + a k β k x k < ε. k=1 Από αυτό έπεται ότι το D είναι πυκνό υποσύνολο του X, άρα ο X είναι διαχωρίσιμος. Θεώρημα Εστω X χώρος Banach με βάση Schauder την (x n ). Για κάθε n N θεωρούμε την φυσιολογική «προβολή» P n : X X που ορίζεται μέσω της ( ) (2.1.4) P n (x) = P n a i x i = n a i x i. Τότε, κάθε P n είναι φραγμένος τελεστής και sup n P n < +. Απόδειξη. Κάθε P n είναι γραμμικός τελεστής και P n P n = P n. Γενικότερα, αν n < m τότε P n P m = P m P n = P n. Θα δείξουμε ότι οι τελεστές P n είναι φραγμένοι. Για κάθε x X έχουμε P n (x) x, άρα το { P n (x) : n N} είναι φραγμένο στο R. Ορίζουμε μια νέα νόρμα στον X ως εξής: (2.1.5) x = sup P n (x). n Εύκολα ελέγχουμε ότι η είναι νόρμα που ικανοποιεί την (2.1.6) x = lim P n(x) sup P n (x) = x, x X. n Ισχυρισμός. Ο (X, ) είναι πλήρης. n Απόδειξη. Εστω y k = ak i x i μια -Cauchy ακολουθία στον X. Τότε, οι ακολουθίες (P n (y k )) k είναι -Cauchy στον X ομοιόμορφα ως προς n: Για κάθε ε > 0 υπάρχει k 0 (ε) N ώστε (2.1.7) k 1, k 2 k 0 (ε) n N, P n (y k1 ) P n (y k2 ) < ε. Ομως για κάθε n N η ακολουθία (P n (y k )) k βρίσκεται σε έναν χώρο πεπερασμένης διάστασης (τον X n = span{x 1,..., x n }), επομένως συγκλίνει σε κάποιο z n X n. Επίσης, λόγω της (2.1.7), η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη ως προς n. Δηλαδή, για κάθε ε > 0 υπάρχει k 0 (ε) N ώστε (2.1.8) k k 0 (ε) n N, P n (y k1 ) z n ε.

19 2.1 Βασεις Schauder 15 Η ακολουθία (z n ) n είναι -Cauchy: έστω ε > 0. Επιλέγουμε k 0 N ώστε, για κάθε k k 0 και κάθε n N, να έχουμε P n (y k ) z n < ε/3. Τότε, για κάθε n, m N παίρνουμε (2.1.9) z n z m < 2ε 3 + P n(y k ) P m (y k ) αν k k 0. Αφού lim n P n(y k ) = y k, αν σταθεροποιήσουμε κάποιο k k 0 και πάρουμε τα n, m αρκετά μεγάλα, βλέπουμε ότι (2.1.10) P n (y k ) P m (y k ) < ε 3, δηλαδή (2.1.11) z n z m < ε. Ο (X, ) είναι πλήρης, άρα υπάρχει z X τέτοιο ώστε z n z 0. Παρατηρούμε ότι αν m > n, τότε (2.1.12) P n (z m ) = P n (lim k P m (y k )) = lim k P n (P m (y k )) = lim k P n (y k ) = z n. (η δεύτερη ισότητα ισχύει γιατί όλα τα P m (y k ) ανήκουν στον πεπερασμένης διάστασης χώρο (X m, ) στον οποίο η P n είναι συνεχής). Από την (2.1.12) συμπεραίνουμε ότι υπάρχει ακολουθία (a i ) i N στο K ώστε (2.1.13) z n = για κάθε n N. Επεται ότι n a i x i (2.1.14) z = lim n z n = Τέλος, από την (2.1.8) βλέπουμε ότι a i x i. (2.1.15) z y k = sup z n P n (y k ) 0 n όταν k, το οποίο αποδεικνύει τον ισχυρισμό. Θεωρούμε τώρα την ταυτοτική απεικόνιση I : (X, ) (X, ). Η I είναι γραμμικός, 1-1 και επί τελεστής. Αφού x x για κάθε x X, ο I είναι φραγμένος τελεστής. Οι δύο χώροι είναι πλήρεις, άρα εφαρμόζεται το θεώρημα αντίστροφης απεικόνισης: ο I 1 είναι φραγμένος, δηλαδή υπάρχει K > 0 ώστε (2.1.16) sup P n (x) = x K x n

20 16 Βασεις Schauder και η ιδιοτητα προσεγγισης για κάθε x X. Άρα, κάθε P n είναι φραγμένος τελεστής και (2.1.17) sup P n K < +. n Ορισμός Ο αριθμός M = sup n P n λέγεται σταθερά της βάσης (x i ). Αν M = 1 τότε η βάση (x i ) λέγεται μονότονη. Από την P n P m = P n, n < m παίρνουμε το εξής. Πόρισμα Εστω X χώρος Banach με βάση Schauder την (x i ). Για κάθε n < m και κάθε a 1,..., a m K ισχύει (2.1.18) n m a i x i M a i x i όπου M η σταθερά της βάσης (x i ). Απόδειξη. Θέτουμε x = m a ix i. Τότε, P n (x) = n a ix i. Το συμπέρασμα προκύπτει από την P n (x) P n x M x. Ορισμός Εστω X χώρος Banach με βάση Schauder την (x i ). Για κάθε i N ορίζουμε x i : X K με x i ( n=1 a nx n ) = a i. Κάθε x i είναι γραμμικό συναρτησοειδές, και x j (x i) = δ ij, i, j N. Η ακολουθία {x i : i N} είναι η διορθογώνια ακολουθία της {x i : i N}. Κάθε x X γράφεται στην μορφή (2.1.19) x = Επιπλέον, κάθε x i X : x i (x)x i. Πρόταση Εστω X χώρος Banach με βάση Schauder την (x i ), και έστω (x i ) η διορθογώνια ακολουθία της (x i ). Κάθε x i είναι φραγμένο γραμμικό συναρτησοειδές και (2.1.20) x i 2M x i, όπου M > 0 η σταθερά της βάσης (x i ). Απόδειξη. Θέτουμε P 0 0 και θεωρούμε τυχόν x X. Από την x i (x)x i = P i (x) P i 1 (x) βλέπουμε ότι (2.1.21) x i (x) = 1 x i P i(x) P i 1 (x) 2M x i x, όπου M > 0 είναι η σταθερά της βάσης (x i ).

21 2.1 Βασεις Schauder 17 Πρόταση (αρχή των μικρών διαταραχών). Εστω X χώρος Banach και έστω (x n ) βάση Schauder του X, με σταθερά βάσης M > 0 και δ := inf{ x n : n N} > 0. Αν (y n ) είναι ακολουθία στον X η οποία ικανοποιεί την (2.1.22) x n y n < δ 2M, n=1 τότε η (y n ) είναι επίσης βάση Schauder του X. Απόδειξη. Δείχνουμε πρώτα ότι αν η σειρά λ ix i συγκλίνει, τότε η σειρά λ iy i συγκλίνει: έστω ότι x = λ ix i X. Για κάθε n < m έχουμε m m λ i y i max λ m (2.1.23) i y i x i + λ n i m i x i i=n i=n i=n 2M m δ x m y i x i + λ i x i, i=n όπου χρησιμοποιήσαμε την τριγωνική ανισότητα και την λ i = x i (x) 2M δ x. Από τις υποθέσεις μας, το δεξιό μέλος τείνει στο μηδέν όταν n, m. Άρα, η n λ iy i είναι ακολουθία Cauchy στον X. Επεται ότι υπάρχει το y = λ iy i. Ορίζουμε T : X X ως εξής: κάθε x X γράφεται μονοσήμαντα στη μορφή x = λ ix i. Ορίζουμε ( ) (2.1.24) T λ i x i = λ i y i. Ο T είναι καλά ορισμένος γραμμικός τελεστής, και για κάθε x X έχουμε (2.1.25) x T (x) = λ n (x n y n ) 2M δ x x n y n, δηλαδή n=1 (2.1.26) I T 2M δ i=n x n y n < 1. n=1 Επεται ότι ο T είναι ισομορφισμός: ο αντίστροφος του T είναι ο τελεστής S = k=0 (I T ) k. Η σύγκλιση της σειράς έπεται από την I T < 1: Αφού (I T ) k I T k για κάθε k, παίρνουμε (2.1.27) k=0 k=0 n=1 (I T ) k I T k 1 = 1 I T.

22 18 Βασεις Schauder και η ιδιοτητα προσεγγισης Χρησιμοποιώντας την lim n (I T ) n = 0, βλέπουμε ότι ( ) ( n ) (2.1.28) T (I T ) k = lim T (I T ) k = lim (I (I T n n )n+1 ) = I. k=0 k=0 Με τον ίδιο τρόπο ελέγχουμε ότι ( ) (2.1.29) (I T ) k T = I. k=0 Τέλος, εύκολα ελέγχουμε ότι κάθε x X γράφεται μονοσήμαντα στην μορφή n=1 λ ny n : αρκεί να γράψουμε το T 1 (x) στην μορφή T 1 (x) = n=1 λ nx n. 2.1αʹ Βασικές ακολουθίες Ορισμός Εστω X χώρος Banach και έστω (x n ) ακολουθία στον X. Η (x n ) λέγεται βασική ακολουθία αν είναι βάση για τον υπόχωρο Y = span{x n : n N} που παράγει. Η επόμενη Πρόταση μας δίνει ένα κριτήριο για να εξετάζουμε αν μια ακολουθία είναι βασική. Πρόταση Εστω X χώρος Banach και έστω (x n ) ακολουθία μη μηδενικών διανυσμάτων στον X. Η (x n ) είναι βασική ακολουθία αν και μόνο αν υπάρχει σταθερά K > 0 με την ιδιότητα n m (2.1.30) a i x i K a i x i για κάθε n < m και για κάθε a 1,..., a m K. Απόδειξη. Η μία κατεύθυνση προκύπτει άμεσα αν εφαρμόσουμε το Πόρισμα για τον Y = span{x n : n N}. Για την αντίστροφη κατεύθυνση, ας υποθέσουμε ότι η (x n ) ικανοποιεί την (2.1.30). Παρατηρούμε πρώτα ότι τα διανύσματα x n είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Αν m a ix i = 0, τότε για κάθε 2 j m έχουμε (2.1.31) a j x j j a i x i + j 1 a i x i 2K m a i x i = 0. Η ίδια ανισότητα ισχύει (με σταθερά K αντί για 2K) όταν j = 1. Επεται ότι a 1 = = a m = 0. Θεωρούμε τον F = span{x n : n N}. Ο F είναι πυκνός υπόχωρος του Y. Για κάθε n ορίζουμε P n : F F με ( m ) (2.1.32) P n a i x i = min{m,n} a i x i.

23 2.1 Βασεις Schauder 19 Ο P n είναι καλά ορισμένος, λόγω της γραμμικής ανεξαρτησίας των x i, και από την (2.1.30) συμπεραίνουμε ότι P n K για κάθε n. Χρησιμοποιώντας την πυκνότητα του F στον Y μπορούμε να επεκτείνουμε τον P n σε ολόκληρο τον Y, με διατήρηση της P n K. Εστω x Y. Από τον τρόπο ορισμού των P n βλέπουμε ότι υπάρχει (μοναδική) ακολουθία (a i ) i N στο K ώστε (2.1.33) P n (x) = n a i x i για κάθε n N (χρησιμοποιήστε την P n P m = P n αν n < m). Μένει να δείξουμε ότι P n (x) x. Εστω ε > 0. Υπάρχει z = n b ix i F ώστε x z < ε. Για κάθε m > n έχουμε P m (z) = z, άρα (2.1.34) x P m (x) x z + z P m (z) + P m (z) P m (x) (1 + P m ) x z < (1 + K) ε, το οποίο αποδεικνύει το ζητούμενο. Κάθε απειροδιάστατος χώρος Banach περιέχει κλειστό υπόχωρο με βάση. Με άλλα λόγια, σε κάθε απειροδιάστατο χώρο Banach υπάρχει βασική ακολουθία. Η απόδειξη βασίζεται στο εξής Λήμμα του Mazur: Πρόταση Εστω X απειροδιάστατος χώρος με νόρμα και έστω F υπόχωρος του X με πεπερασμένη διάσταση. Για κάθε ε > 0 υπάρχει x X με x = 1, το οποίο ικανοποιεί την (2.1.35) y (1 + ε) y + λx για κάθε y F και λ K. Απόδειξη. Ζητάμε x S X το οποίο να είναι «κάθετο» στον F (στην περίπτωση που ο X είναι χώρος Hilbert, οποιοδήποτε x S X με x F ικανοποιεί το ζητούμενο, με σταθερά 1, από το Πυθαγόρειο Θεώρημα). Μπορούμε να υποθέσουμε ότι 0 < ε < 1. Αφού dim(f ) <, η μοναδιαία σφαίρα S F του F είναι συμπαγής. Άρα, μπορούμε να βρούμε y 1,..., y k S F τα οποία να σχηματίζουν ε/2 δίκτυο: για κάθε y S F υπάρχει j k ώστε y y j < ε/2. Από το θεώρημα Hahn Banach, για κάθε j = 1,..., k μπορούμε να βρούμε yj X με y j = 1 και y j (y j) = 1. Ο υπόχωρος συνεπώς, αφού dim(x) =, υπάρχει x k k (2.1.36) y 1(x) = = y k(x) = 0. Ker(yj ) έχει πεπερασμένη συνδιάσταση, Ker(yj ) με x = 1. Δηλαδή,

24 20 Βασεις Schauder και η ιδιοτητα προσεγγισης Εστω y S F γράψουμε (2.1.37) και λ K. Υπάρχει j k ώστε y y j < ε/2. Μπορούμε λοιπόν να y + λx y j + λx y y j y j + λx ε 2 y j (y j + λx) ε 2 = y j (y j ) ε 2 = 1 ε ε, δηλαδή y = 1 (1 + ε) y + λx για κάθε y S F και κάθε λ K. Επεται το συμπέρασμα για κάθε y F : Αν y = 0, τότε είναι προφανές. Αν 0 y F, τότε y = 1, άρα για κάθε λ K έχουμε, (2.1.38) y y y (1 + ε) y y + λ x y, δηλαδή y (1 + ε) y + λx. Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη. Θεώρημα Κάθε απειροδιάστατος χώρος Banach X περιέχει κλειστό υπόχωρο με βάση Schauder. Απόδειξη. Θα δείξουμε κάτι ισχυρότερο: για κάθε ε > 0 υπάρχει βασική ακολουθία (x i ) στον X με σταθερά M 1 + ε. Εστω ε > 0. Μπορούμε να βρούμε ακολουθία (ε n ) θετικών αριθμών, με n=1 (1+ε) 1 + ε. Θεωρούμε τυχόν x 1 X με x 1 = 1 και θέτουμε F 1 = span{x 1 }. Από το Λήμμα του Mazur υπάρχει x 2 X με x 2 = 1, το οποίο ικανοποιεί την (2.1.39) y (1 + ε 2 ) y + a 2 x 2 για κάθε y F 1 και για κάθε a 2 K. Θέτουμε F 2 = span{x 1, x 2 } και επιλέγουμε x 3 X με x 3 = 1, το οποίο ικανοποιεί την (2.1.40) y (1 + ε 3 ) y + a 3 x 3 για κάθε y F 2 και για κάθε a 3 K. Στο n οστό βήμα, θέτουμε F n = span{x 1,..., x n } και επιλέγουμε x n+1 X με x n+1 = 1, το οποίο ικανοποιεί την (2.1.41) y (1 + ε n+1 ) y + a n+1 x n+1 για κάθε y F n και για κάθε a n+1 K. Με αυτό τον τρόπο ορίζεται ακολουθία (x i ) στον X. Θα δείξουμε ότι: αν n < m και a 1,..., a m K, τότε n m (2.1.42) a i x i (1 + ε) a i x i.

25 2.1 Βασεις Schauder 21 Για την απόδειξη της (2.1.42) χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι για κάθε n k < m έχουμε y k = k a ix i F k, και την επιλογή των x i : έχουμε n (2.1.43) a i x i = y n (1 + ε n+1 ) y n + a n+1 x n+1 = (1 + ε n+1 ) y n+1, και, επαγωγικά, (2.1.44) y n (1 + ε n+1 ) y n+1 n+2 j=n+1 (1 + ε j ) y n+2 m j=n+1 (1 + ε j ) y m, δηλαδή, (2.1.45) n a i x i m j=n+1 m m (1 + ε j ) a i x i (1 + ε) a i x i. Αυτό αποδεικνύει ότι η (x i ) είναι βασική, με σταθερά M 1 + ε. 2.1βʹ Παραδείγματα βάσεων Schauder Κάποιοι από τους κλασικούς χώρους Banach έχουν μια πολύ φυσιολογική βάση Schauder. Για παράδειγμα, εύκολα ελέγχουμε ότι η συνήθης ακολουθία (e n ), όπου e n = (0,..., 0, 1, 0,...) με τη μονάδα στη n-οστή θέση, είναι βάση Schauder για τον l p, 1 p < και για τον c 0. Πράγματι, αν p = 1, τότε για κάθε n < m και κάθε a 1,..., a m R έχουμε, (2.1.46) n 1 a i e i = n m a i a i m 1 a i e i. Από την Πρόταση έπεται ότι η (e n ) είναι μονότονη βάση Schauder του l 1. Ανάλογα ελέγχουμε ότι η (e n ) είναι βάση Schauder του l p, 1 < p < και του c 0. Σε αυτή την Παράγραφο θα συζητήσουμε κάποια κλασικά παραδείγματα βάσεων σε χώρους συναρτήσεων. 1. Η βάση του Schauder για τον C[0, 1]. Η βάση του Schauder (f n ) στον C[0, 1] ορίζεται ως εξής: οι πρώτες πέντε συναρτήσεις της ακολουθίας είναι οι: (i) f 0 (t) = 1 στο [0, 1]. (ii) f 1 (t) = t στο [0, 1]. (iii) f 2 (t) = 2t στο [0, 1/2] και f 2 (t) = 2 2t στο [1/2, 1].

26 22 Βασεις Schauder και η ιδιοτητα προσεγγισης (iv) f 3 (t) = 4t στο [0, 1/4], f 3 (t) = 2 4t στο [1/4, 1/2] και f 3 (t) = 0 στο [1/2, 1]. (v) f 4 (t) = 0 στο [0, 1/2], f 4 (t) = 4t 2 στο [1/2, 3/4] και f 4 (t) = 4 4t στο [3/4, 1]. Γενικά, αν k 1 και i = 1,..., 2 k, ορίζουμε την f 2k +i θέτοντας (2.1.47) f 2k +i(t) = f 2 (2 k t i + 1) αν και f 2k +i(t) = 0 αλλιώς. i 1 2 k t i 2 k Βασική παρατήρηση. Θεωρούμε την αρίθμηση t 0 = 0, t 1 = 1, t 2 = 1/2, t 3 = 1/4, t 5 = 3/4 κλπ των δυαδικών ρητών k/2 m του [0, 1]. Από τον τρόπο ορισμού των f n έχουμε (2.1.48) f n (t n ) = 1 και f m (t n ) = 0 αν m > n. Επεται ότι οι f n είναι γραμμικά ανεξάρτητες. Βασική συνέπεια του τρόπου ορισμού των f n είναι η εξής: για κάθε n N, ο υπόχωρος span{f 0, f 1,..., f 2 n} συμπίπτει με τον υπόχωρο F n των κατά τμήματα γραμμικών συνεχών συναρτήσεων που έχουν κόμβους στους δυαδικούς ρητούς k/2 n, k = 0, 1,..., 2 n. Αυτό προκύπτει εύκολα αν παρατηρήσουμε ότι και οι δύο χώροι έχουν διάσταση 2 n +1. Μια βάση του F n είναι η {g 0, g 1,..., g 2 n}, όπου η g i ορίζεται μονοσήμαντα από τις g i (l/2 n ) = δ il, l = 0, 1,..., 2 n. Η επόμενη παρατήρηση είναι ότι ο υπόχωρος που παράγεται από τις f n είναι πυκνός στον C[0, 1]. Αυτό προκύπτει από την προηγούμενη παρατήρηση και από το γεγονός ότι n=1 F n = C[0, 1] (για τον τελευταίο ισχυρισμό, χρησιμοποιήστε την πυκνότητα των δυαδικών ρητών στο [0, 1]). Σύμφωνα με την Πρόταση , προκειμένου να δείξουμε ότι η (f n ) είναι βάση για τον C[0, 1], αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει σταθερά K > 0 με την ιδιότητα (2.1.49) n m a i f i K a i f i για κάθε n < m και για κάθε a 1,..., a m R. Θα δείξουμε ότι η (2.1.49) ισχύει με K = 1 (με άλλα λόγια, η (f n ) είναι μονότονη βάση του C[0, 1]): θέτουμε P n = n a if i και P m = m a if i. Παρατηρήστε ότι, για κάθε k n ισχύει (2.1.50) P m (t k ) = m a i f i (t k ) = i=0 αφού f n+1 (t k ) = = f m (t k ) = 0. Επεται ότι n a i f i (t k ) = P n (t k ), (2.1.51) P n = max 0 k n P n(t k ) = max 0 k n P m(t k ) max 0 k m P m(t k ) = P m. i=0

27 2.1 Βασεις Schauder 23 Τα παραπάνω δείχνουν ότι η (f n ) n 0 είναι βάση Schauder του C[0, 1]. Κάθε f C[0, 1] γράφεται μονοσήμαντα στην μορφή f = n=0 a nf n. Χρησιμοποιώντας μάλιστα την βασική παρατήρηση, μπορούμε να υπολογίσουμε εύκολα τους συντελεστές a n : έχουμε n 1 (2.1.52) a n = f(t n ) a k f k (t n ) για κάθε n 0, απ όπου υπολογίζονται διαδοχικά οι a 0, a 1,..., a n,.... k=0 2. Το σύστημα Haar στον L p [0, 1], 1 p < Το σύστημα Haar (h n ) στον L p [0, 1], 1 p < ορίζεται ως εξής: οι πρώτες τέσσερις συναρτήσεις της ακολουθίας είναι οι: (i) h 0 (t) = 1 στο [0, 1]. (ii) h 1 (t) = 1 στο [0, 1/2] και h 1 (t) = 1 στο (1/2, 1]. (iii) h 2 (t) = 1 στο [0, 1/4], h 2 (t) = 1 στο (1/4, 1/2] και h 2 (t) = 0 στο (1/2, 1]. (iv) h 3 (t) = 0 στο [0, 1/2), h 3 (t) = 1 στο [1/2, 3/4] και h 3 (t) = 1 στο (3/4, 1]. Γενικά, αν k 1 και i = 0, 1,..., 2 k 1, ορίζουμε την h 2 k +i θέτοντας (2.1.53) h 2 k +i(t) = h 1 (2 k t i) αν i 2 k t i k και h 2 k +i(t) = 0 αλλιώς. Το σύστημα Haar συνδέεται με την βάση του Schauder ως εξής: για κάθε n 1, t (2.1.54) f n (t) = 2 n 1 h n 1 (s) ds. Παρατηρήσεις. (α) Για κάθε n 1 έχουμε 0 (2.1.55) 1 0 h n (t) dt = 0. (β) Αν n < m τότε συμβαίνει ένα από τα εξής δύο: είτε οι h n, h m έχουν ξένους φορείς ή ο φορέας της h m περιέχεται στον φορέα της h n και η h n είναι σταθερή (ίση με 1 ή 1) στον φορέα της h m. Σε κάθε περίπτωση, αν n m έχουμε (2.1.56) 1 0 h n (t)h m (t) dt = 0.

28 24 Βασεις Schauder και η ιδιοτητα προσεγγισης (γ) Από το (β) έπεται ότι οι h n, n 0 είναι γραμμικά ανεξάρτητες: αν a 1 h 1 + +a n h n 0, τότε για κάθε j = 1,..., n έχουμε (2.1.57) 0 = 1 0 (a 1 h a n h n )(t)h j (t) dt = a j. Θα δείξουμε ότι η (h n ) n 0 είναι μονότονη βάση του L p [0, 1]. Παρατηρούμε πρώτα ότι ο υπόχωρος που παράγουν οι h n είναι πυκνός στον L p [0, 1]. Εστω k N και έστω H k ο υπόχωρος που παράγουν οι χ I, όπου I διάστημα της μορφής [ ] i 1 i, 2 k 2, i = 1,..., 2 k. k Η διάσταση του H k είναι 2 k και οι h 0, h 1,..., h 2k 1 ανήκουν στον H k και είναι γραμμικά ανεξάρτητες. Άρα, (2.1.58) H k = span{h n : 0 n 2 k 1} span{h n : n 0} p. Δεδομένου ότι L p [0, 1] = k=0 H p k, συμπεραίνουμε ότι (2.1.59) L p [0, 1] = span{h n : n 0} p. Σύμφωνα με την Πρόταση , προκειμένου να δείξουμε ότι η (h n ) είναι μονότονη βάση για τον L p [0, 1], αρκεί να δείξουμε ότι: για κάθε g = n k=0 a kh k και για κάθε a n+1 R, ισχύει (2.1.60) g p p g + a n+1 h n+1 p p. Παρατηρούμε ότι η g είναι σταθερή (ίση, ας πούμε, με c) στον φορέα I της h n+1 ενώ η g + a n+1 h n+1 παίρνει τις τιμές c ± a n+1 σε δύο διαστήματα μήκους I /2. Στο [0, 1] \ I οι g, g + a n+1 h n+1 συμπίπτουν. Άρα, (2.1.61) g + a n+1 h n+1 p p g p p = ( c + a n+1 h n+1 (t) p c p ) dt I = I 2 ( c + a n+1 p + c a n+1 p 2 c p ). Η τελευταία ποσότητα είναι μη αρνητική: όταν p 1, η x x p είναι κυρτή, συνεπώς, χρησιμοποιώντας την ανισότητα p (2.1.62) x + y 2 x p + y p 2 με x = c + a n+1 και y = c a n+1 παίρνουμε το ζητούμενο. 2.2 Fragmèna pl reic kai surriknoôsec bˆseic Ορισμός Μια βάση Schauder (x n ) n=1 ενός χώρου Banach λέγεται συρρικνούσα αν η ακολουθία των διορθογώνιων συναρτησοειδών (x n) n=1 είναι βάση του X, δηλαδή αν span{x n : n = 1, 2,...} = X.

29 2.2 Φραγμενα πληρεις και συρρικνουσες βασεις 25 Η επόμενη πρόταση μας δίνει ένα απλό, αλλά χρήσιμο κριτήριο για να ελέγχουμε πότε μια βάση είναι συρρικνούσα. Πρόταση Μια βάση Schauder (x n ) n=1 ενός χώρου Banach X είναι συρρικνούσα αν και μόνο αν (2.2.1) lim x span{xi} n i=n = 0, όπου x span{xi} = sup { x (y) : y span{x i=n i } i=n}. Απόδειξη. Υποθέτουμε πρώτα ότι η (x n ) n=1 είναι συρρικνούσα. Εστω P n η φυσιολογική n-οστή προβολή του X ως προς την βάση. Για κάθε a i = a i (x) K και για κάθε n < m έχουμε ( m ) n (2.2.2) Pn a i x i = a i x i. Αφού η (x n ) n=1 είναι συρρικνούσα, έχουμε (2.2.3) lim n P nx x = 0 για κάθε x X. Παίρνοντας υπόψιν το γεγονός ότι P n 1(x span{xi} ) = 0 και γράφοντας x = (x P n 1x ) + P n 1x για κάθε x X, παίρνουμε το ζητούμενο. Αντίστροφα, έστω ότι ισχύει η (2.2.1) και έστω x X με x = 1. Τότε, (2.2.4) (x Pnx )(x) = x (I x P n )(x) x span{xi} I i=n+1 x P n x (K + 1) x span{xi} x, i=n+1 όπου K η σταθερά της βάσης (x n ) n=1. Επεται ότι P nx x 0 καθώς n. Πρόταση Εστω (x n ) n=1 συρρικνούσα βάση ενός χώρου Banach X. Τότε, η απεικόνιση T (x ) = (x (x 1 ), x (x 2 ),...) είναι ισομορφισμός από τον X στον χώρο όλων των ακολουθιών (a n ) n=1 για τις οποίες ισχύει (2.2.5) (a n ) = sup n n a i x i <. Επιπλέον, αν η βάση (x n ) n=1 είναι μονότονη, τότε η T είναι ισομετρία. Απόδειξη. Εύκολα ελέγχουμε ότι η ορίζει νόρμα στον διανυσματικό χώρο όλων των ακολουθιών (a n ), με (a n ) <. Εστω P n η φυσιολογική προβολή στον X και έστω K η σταθερά της βάσης (x n ) n=1. Τότε, για κάθε x X έχουμε (2.2.6) P n (x ) = n x (x i )(x i ).

30 26 Βασεις Schauder και η ιδιοτητα προσεγγισης Επίσης, (2.2.7) T (x ) = sup n n x (x i )x i = sup Pn (x ) K x. n Άρα, ο T είναι φραγμένος γραμμικός τελεστής, με T K. Εστω (a n ) { n } n=1 ώστε sup n ai x i <. Τότε, το a ix i είναι φραγμένο n=1 στον X, επομένως υπάρχει x X ώστε n a w ix i x. Άρα, x (x i ) = a i για κάθε i. Επίσης, (2.2.8) x n lim sup a i x i (an ). n Επομένως, έχουμε x T (x ) και T (x ) = (a n ). Αν η βάση (x n ) n=1 είναι μονότονη, τότε K = 1, άρα η T είναι ισομετρία. Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη. Ορισμός Μια βάση Schauder (x n ) n=1 ενός χώρου Banach X λέγεται φραγμένα πλήρης αν, για κάθε ακολουθία a n K με sup n n a ix i <, η σειρά n=1 a nx n συγκλίνει. Πρόταση Εστω (x n ) n=1 μια φραγμένα πλήρης βάση Schauder ενός χώρου Banach X. Τότε, ο X ( είναι ισομορφικός με έναν δυϊκό χώρο. Συγκεκριμένα, ο X είναι. ισομορφικός με τον span{x n : n = 1, 2,...}) Απόδειξη. Θέτουμε Z = span{x n : n = 1, 2,...} και ορίζουμε J : X Z με Jx(z) = z(x). Είναι σαφές ότι ο J είναι γραμμικός τελεστής. Εστω x X. Τότε, για κάθε z Z έχουμε J(x)(z) = z(x) z x. Άρα, (2.2.9) J(x) x για κάθε x X. 1 Ο ισχυρισμός είναι ότι K x J(x) για κάθε x X, όπου K η σταθερά της βάσης (x n ) n=1. Αρκεί να το δείξουμε για κάθε x span{x n : n = 1, 2,...}. Πράγματι, έστω x span{x n : n = 1, 2,...}. Τότε, υπάρχει n N ώστε P n (x) = x. Από το θεώρημα Hahn Banach, υπάρχει x X με x = 1, ώστε x (x) = x. Τότε, Pnx (x) = x (x), Pnx Z και Pnx K. Από τον ορισμό της J έχουμε (2.2.10) J(x)P n(x ) = P n(x )(x) = x. Επεται ότι (2.2.11) 1 K J(x) x

31 2.2 Φραγμενα πληρεις και συρρικνουσες βασεις 27 για κάθε x X. Μένει να δείξουμε ότι η J είναι επί. Πρώτα παρατηρούμε ότι οι όροι της ακολουθίας ( J(x n ) ) είναι τα διορθογώνια συναρτησοειδή της (x n) n=1. Εστω z Z. Τότε, για κάθε z Z με z 1 και για κάθε n N, n=1 έχουμε ( n ) ( n ) z (x i )J(x i ) (z) = (2.2.12) z J(x i )(z)x i z n J(x i )(z)x i Άρα, (2.2.13) K z. n z (x i )J(x i ) K z για κάθε n N. Εφ οσον η (x n ) n=1 είναι φραγμένα πλήρης, υπάρχει x X ώστε x = n=1 z (x n)x n. Τότε, (2.2.14) J(x) = Η απόδειξη είναι πλήρης. z (x n)j(x n ) = z. n=1 Σημείωση. Παρατηρήστε ότι span{j(x n ) : n = 1, 2,...} = Z, δηλαδή η (x n) n=1 είναι συρρικνούσα βάση. Το αντίστροφο του παραπάνω αποτελέσματος ισχύει επίσης. Πρόταση Εστω (x n ) n=1 συρρικνούσα βάση ενός χώρου Banach X. Τότε, η ακολουθία (x n) n=1 των διορθογώνιων συναρτησοειδών της (x n ) n=1 είναι φραγμένα πλήρης βάση του X. n Απόδειξη. Εστω (a n ) ακολουθία πραγματικών αριθμών, ώστε sup n a ix i <. Για κάθε n N θέτουμε x n = n a ix i. Εφ όσον η (x n) n=1 είναι βάση του X, ο X είναι διαχωρίσιμος, άρα από το θεώρημα συμπάγειας του Αλάογλου, ο (S X, w ) είναι συμπαγής και μετρικοποιήσιμος. Επομένως, υπάρχουν υπακολουθία (x i n ) της (x n) και x X ώστε x w i n x. Αφού η (x n ) είναι συρρικνούσα, υπάρχει (μοναδική) ακολουθία πραγματικών αριθμών (β n ) ώστε x = n=1 β nx n. Επειδή x w i n x, προκύπτει ότι a n = β n για κάθε n N. Αρα, x = n=1 a nx n. Το συμπέρασμα έπεται. Μπορούμε τώρα να περάσουμε στο βασικό αποτέλεσμα αυτής της παραγράφου, το οποίο αποδείχθηκε από τον James.

32 28 Βασεις Schauder και η ιδιοτητα προσεγγισης Θεώρημα (James 1951). Εστω (x n ) n=1 βάση Schauder ενός χώρου Banach X. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (i) Η (x n ) n=1 είναι φραγμένα πλήρης και συρρικνούσα βάση. (ii) Ο X είναι αυτοπαθής. Απόδειξη. (i) (ii). Αφού η (x n ) n=1 είναι φραγμένα πλήρης, από την Πρόταση έ- χουμε ότι η απεικόνιση J : X Z, όπου Z = span{x n : n = 1, 2,...}, είναι ισομορφισμός επί. Επειδή η (x n ) n=1 είναι και συρρικνούσα, έχουμε ότι Z = X. Επεται ότι Z = X. Τότε, η J συμπίπτει με την κανονική εμφύτευση τ : X X, η οποία είναι επί. Επεται ότι ο X είναι αυτοπαθής. (ii) (i). Εστω ότι ο X είναι αυτοπαθής και έστω (x n ) n=1 βάση του X. Ο ισχυρισμός είναι ότι η (x n ) n=1 είναι συρρικνούσα, δηλαδή ότι X = Z. Πράγματι, υποθέτουμε προς άτοπο ότι αυτό δεν ισχύει. Τότε, από το θεώρημα Hahn Banach, μπορούμε να βρούμε 0 x X ώστε x (z) = 0 για κάθε z Z. Επειδή ο X είναι αυτοπαθής, υπάρχει 0 x = n=1 x n(x)x n X ώστε x = x. Ειδικότερα, έχουμε (2.2.15) 0 = x (x n) = x n(x) για κάθε n. Επεται ότι x = 0, το οποίο είναι άτοπο. Εφ οσον ο X είναι αυτοπαθής, θα είναι και ο X. Από τον παραπάνω ισχυρισμό έπεται ότι η (x n) n=1 είναι συρρικνούσα βάση του X. Τότε, από την Πρόταση και από το γεγονός ότι η (x n ) n=1 είναι η ακολουθία των διορθογώνιων συναρτησοειδών της (x n) n=1, και αφού ο X είναι αυτοπαθής, προκύπτει ότι η (x n ) n=1 είναι και φραγμένα πλήρης βάση του X. Η απόδειξη είναι πλήρης. Πρόταση Εστω (x n ) μία συρρικνούσα βάση ενός χώρου Banach. Τότε, ο l 1 δεν εμφυτεύεται ισομετρικά στον X. Απόδειξη. Πράγματι, αφού η (x n ) είναι συρρικνούσα βάση του X, ο X είναι διαχωρίσιμος. Υποθέτουμε ότι υπάρχει ισομορφική εμφύτευση T : l 1 X. Τότε, ο συζυγής τελεστής T : X l 1 είναι επί, και άρα ο l 1, δηλαδή ο l είναι διαχωρίσιμος, το οποίο είναι άτοπο. Παράδειγμα Η συνήθης βάση e n = (0,..., 1, 0,..., 0) (με την μονάδα στη n- οστή θέση) του l p, 1 < p < είναι φραγμένα πλήρης και συρρικνούσα. Πράγματι, αφού για κάθε ακολουθία (a n ) πραγματικών αριθμών ισχύει (2.2.16) n ( p n a i e i = a i p) 1 p, προκύπτει ότι η (e n ) είναι φραγμένα πλήρης. Επειδή υπάρχει ισομετρία επί T : l q l p με 1 p + 1 q = 1, και μάλιστα οι εικόνες της βάσης (e n) n=1 του l q μέσω της T είναι τα διορθογώνια συναρτησοειδή (e n) της βάσης του l p, έπεται ότι η (e n ) είναι συρρικνούσα βάση.

33 2.3 Η ιδιοτητα προσεγγισης 29 Για τον ίδιο λόγο, επειδή υπάρχει ισομετρία επί T : l 1 c 0, η (e n ) είναι συρρικνούσα βάση του c 0. Επίσης, η (e n ) είναι φραγμένα πλήρης βάση του l 1. Παρατηρήστε ότι, επειδή οι χώροι c 0 και l 1 δεν είναι αυτοπαθείς, από το Θεώρημα έπεται ότι η (e n ) δεν είναι φραγμένα πλήρης βάση του c 0 και δεν είναι συρρικνούσα βάση του l H idiìthta prosèggishc Ορισμός Εστω X χώρος Banach. Λέμε ότι ο X έχει την ιδιότητα προσέγγισης (AP) αν για κάθε συμπαγές υποσύνολο K του X και για κάθε ε > 0 υπάρχει τελεστής πεπερασμένης τάξης T : X X (δηλαδή, T (x) = n x i (x)x i για κάποια n N, {x i } n X και {x i }n X ) ώστε T (x) x ε για κάθε x K. Εύκολα ελέγχουμε ότι κάθε χώρος X που έχει βάση Schauder έχει την ιδιότητα προσέγγισης. Πράγματι, αν {P n } n=1 είναι η ακολουθία των προβολών που αντιστοιχούν σε κάποια βάση Schauder του X τότε, για κάθε συμπαγές K X και για κάθε ε > 0, μπορούμε να βρούμε n(ε, K) ώστε P n (x) x < ε για κάθε x K και n > n(ε, K). Οι επόμενες δύο προτάσεις περιγράφουν την δομή των συμπαγών υποσυνόλων ενός χώρου Banach και των δυϊκών χώρων κάποιων χώρων τελεστών που σχετίζονται με την ιδιότητα προσέγγισης. Πρόταση Ενα κλειστό υποσύνολο K ενός χώρου Banach X είναι συμπα- γές αν και μόνο αν υπάρχει ακολουθία {x n } n=1 στον X ώστε x n 0 και K conv({x n } n=1). Απόδειξη. Εύκολα ελέγχουμε ότι αν x n 0 τότε το σύνολο { } (2.3.1) λ n x n : λ n 0, λ n 1 n=1 είναι συμπαγές και συμπίπτει με την conv({x n } n=1). Αυτό αποδεικνύει την μία κατεύθυνση. Για την αντίστροφη κατεύθυνση θεωρούμε τυχόν συμπαγές υποσύνολο K του X. Μ- πορούμε να βρούμε πεπερασμένο υποσύνολο {x i,1 } n1 του X ώστε 2K n 1 B(x i,1, 1/4). Ορίζουμε n=1 n 1 (2.3.2) K 2 = {(B(x i,1, 1/4) 2K) x i,1 }. Τότε, το K 2 είναι συμπαγές υποσύνολο της B(0, 1/4). Μπορούμε να βρούμε πεπερασμένο υποσύνολο {x i,2 } n2 της B(0, 1/2) ώστε 2K 2 n 2 B(x i,2, 1/4 2 ). Ορίζουμε n 2 (2.3.3) K 3 = {(B(x i,2, 1/4 2 ) 2K 2 ) x i,2 }.

34 30 Βασεις Schauder και η ιδιοτητα προσεγγισης Συνεχίζουμε επαγωγικά, ορίζοντας {x i,j } nj για κάθε j 1, με τον ίδιο τρόπο. Για κάθε x K υπάρχει 1 i 1 n 1 ώστε 2x x i1,1 K 2. Συνεπώς, υπάρχει 1 i 2 n 2 ώστε 4x 2x i1,1 x i2,2 K 3. Γενικά, για κάθε k μπορούμε να βρούμε i 1,..., i k ώστε (2.3.4) x k x ij,j 2 j 1 2 k K k+1. Αυτό αποδεικνύει ότι x conv{x i,j : j 1, 1 i n j }. Αφού x i,j 2 4 j+1 για κάθε j > 1 και για κάθε 1 i n j, έχουμε το συμπέρασμα. Πρόταση Εστω X και Y χώροι Banach. Θεωρούμε τον L(X, Y ) εφοδιασμένο με την τοπολογία τ της ομοιόμορφης σύγκλισης στα συμπαγή υποσύνολα του X: αυτή είναι η τοπικά κυρτή τοπολογία που παράγεται από τις ημινόρμες της μορφής T K = sup{ T (x) : x K}, όπου το K διατρέχει τα συμπαγή υποσύνολα του X. Τότε, τα συνεχή γραμμικά συναρτησοειδή του (L(X, Y ), τ) είναι ακριβώς τα συναρτησοειδή της μορφής (2.3.5) ϕ(t ) = yi (T (x i )), όπου {x i } X, {y i } X, και x i y i <. Απόδειξη. Θεωρούμε πρώτα ένα συναρτησοειδές ϕ που έχει αναπαράσταση αυτής της μορφής. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι x i 0 για κάθε i. Θεωρούμε μια ακολουθία {η i } θετικών αριθμών που τείνει στο + και ικανοποιεί την (2.3.6) η i x i yi = C <. Ορίζουμε (2.3.7) K = Τότε, το K είναι συμπαγές και (2.3.8) ϕ(t ) { } xi : i 1 {0}. x i η i yi x i η i T ) C T K. x i η i ( xi Αντίστροφα, υποθέτουμε ότι ϕ είναι ένα γραμμικό συναρτησοειδές στον L(X, Y ) το οποίο ικανοποιεί την ϕ(t ) C T K για κάποια σταθερά C > 0 και κάποιο συμπαγές υποσύνολο K του X. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι K = conv{x n } n=1 για κάποια ακολουθία με x n 0. Ορίζουμε S : L(X, Y ) (Y Y ) 0 με S(T ) = (T x 1, T x 2,...). Τότε

35 2.3 Η ιδιοτητα προσεγγισης 31 ϕ(t ) C S(T ), απ όπου προκύπτει ότι υπάρχει γραμμικό συναρτησοειδές ψ ορισμένο στην κλειστότητα του SL(X, Y ), με την ιδιότητα ϕ(t ) = ψ(s(t )). Από το θεώρημα Hahn Banach μπορούμε να επεκτείνουμε το ψ σε συνεχές γραμμικό συναρτησοειδές στον (Y Y ) 0, δηλαδή σε στοιχείο του (Y Y ) 1. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν {yn} n=1 στον Y ώστε n=1 y n < και ϕ(t ) = n=1 y n(t (x n )). Θεώρημα Εστω X χώρος Banach. Τα παρακάτω είναι ισοδύναμα. (i) Ο X έχει την ιδιότητα προσέγγισης. (ii) Για κάθε χώρο Banach Y, ο υπόχωρος των τελεστών πεπερασμένης τάξης είναι πυκνός στον L(Y, X) με την τοπολογία τ της ομοιόμορφης σύγκλισης στα συμπαγή υποσύνολα του Y. (iii) Για κάθε χώρο Banach Y, ο υπόχωρος των τελεστών πεπερασμένης τάξης είναι πυκνός στον L(X, Y ) με την τοπολογία τ της ομοιόμορφης σύγκλισης στα συμπαγή υποσύνολα του X. (iv) Για κάθε ζεύγος ακολουθιών {x n } X, {x n} X με x i yi < που ικανοποιούν την n=1 x n(x)x n = 0 για κάθε x X, ισχύει x n(x n ) = 0. n=1 (v) Για κάθε χώρο Banach Y, για κάθε συμπαγή τελεστή T L(Y, X) και για κάθε ε > 0, υπάρχει τελεστής πεπερασμένης τάξης T 1 L(Y, X) ώστε T T 1 < ε. Απόδειξη. Η ισοδυναμία των (i) και (iv) προκύπτει από την Πρόταση 2.3.3: η συνθήκη (i) σημαίνει ότι ο ταυτοτικός τελεστής είναι στην τ-κλειστή θήκη του χώρου των τελεστών πεπερασμένης τάξης στον X. Αυτό συμβαίνει αν και μόνο αν κάθε τ-συνεχές γραμμικό συναρτησοειδές ϕ στον L(X), το οποίο μηδενίζεται στους τελεστές τάξης 1, μηδενίζεται και στον ταυτοτικό τελεστή. Ομως αυτό είναι ισοδύναμο με την συνθήκη (iv). Από την (ii) ή την (iii), επιλέγοντας Y = X, παίρνουμε την (i). Θα δείξουμε ότι η (i) έχει σαν συνέπεια τις (ii) και (iii). Εστω T : Y X. Για κάθε συμπαγές υποσύνολο K του Y, το σύνολο T (K) είναι συμπαγές στον X. Λόγω της υπόθεσης (i), για κάθε ε > 0 υπάρχει τελεστής T 1 : X X πεπερασμένης τάξης ώστε T 1 T y T y ε για κάθε y K. Αφού ο T 1 T έχει πεπερασμένη τάξη, έπεται το (ii). Εστω τώρα T : X Y, T 0. Θεωρούμε τυχόν συμπαγές K X και ε > 0. Από την υπόθεση (i), υπάρχει τελεστής T 1 : X X πεπερασμένης τάξης ώστε T 1 x x ε/ T για κάθε x K. Τότε, T T 1 x T x ε για κάθε x K, και έπεται το (iii).